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《程序员的数学（第2版）》（[日]结城浩）电子书网盘下载免费在线阅读
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书名：程序员的数学（第2版）作者：[日]结城浩
译者：管杰
豆瓣评分：8.7
出版社：人民邮电出版社
出版年份：2020-4-1
页数：262
内容简介：
《程序员的数学 第2版》面向程序员介绍了编程中常用的数学知识 ，借以培养初级程序员的数学思维 。读者无须精通编程 ，也无须精通数学 ，只要具备四则运算和乘方等基础知识 ，即可阅读本书 。
《程序员的数学 第2版》讲解了二进制计数法 、逻辑 、余数 、排列组合 、递归 、指数爆炸 、不可解问题等许多与编程密切相关的数学方法 ，分析了哥尼斯堡七桥问题 、高斯求和 、汉诺塔 、斐波那契数列等经典问题和算法 。引导读者深入理解编程中的数学方法和思路 。
《程序员的数学 第2版》新增一个附录来介绍机器学习的基础知识 ，内容涉及感知器 、损失函数 、梯度下降法和神经网络 ，旨在带领读者走进机器学习的世界 。
作者简介：
结城浩（作者）
生于1963年 ,日本知名技术作家和程序员 。在编程语言 、设计模式 、数学 、加密技术等领域 ,编写了很多深受欢迎的入门书 。代表作有《数学女孩》系列 、《程序员的数学》《图解密码技术》等 。
管杰（译者）
毕业于复旦大学日语系 ，现为对日软件工程师 ，具有多年日语技术文档编写经验 。爱好日汉翻译和日本文化史 ，译有《明解C语言：入门篇》等 。
卢晓南（译者）
本科就读于西安交通大学少年班 、数学系 。名古屋大学博士（信息科学） 。现于山梨大学计算机系任助理教授 。主要研究方向包括组合数学（离散数学）及其在信息科学 、计算机科学 、统计学中的应用 。译著有《程序员的数学3：线性代数》 。
二 、编程需要哪些数学知识
编程需要的数学知识包括：
1. 代数基础 。
2. 几何学概念 。
3. 数据分析与统计 。
4. 离散数学 。
编程所涉及的数学内容详解如下：
代数基础：编程中的变量 、函数等概念与代数息息相关 。线性代数对于处理矩阵和向量运算尤为重要 ，这在计算机图形学 、机器学习等领域有广泛应用 。在编程中处理方程 、解决算法问题时 ，代数知识是不可或缺的 。
几何学概念：几何学对于理解空间关系和图形编程至关重要 。编程中经常需要处理二维和三维图形的变换 ，如平移 、旋转和缩放 ，这些操作都与几何知识密不可分 。此外 ，计算机图形学 、游戏开发等领域也需要利用几何学原理 。
数据分析与统计：数据分析是编程中的重要环节 ，对于处理海量数据 、提取有用信息至关重要 。统计学提供了数据分析和解释的工具 ，帮助程序员理解数据分布 、关联和变化 。在机器学习 、数据挖掘等领域 ，数学统计知识尤为重要 。
离散数学：离散数学为编程提供了结构化的方法 ，涉及集合 、逻辑 、关系 、函数等基本概念 。这些知识在算法设计 、数据结构 、计算机理论等方面有着广泛应用 。离散数学还为处理计算机科学中的离散数据提供了有力工具 。
三 、程序员必备的一些数学基础知识
作为一个标准的程序员 ，应该有一些基本的数学素养 ，尤其现在很多人在学习人工智能相关知识 ，想抓住一波人工智能的机会 。很多程序员可能连这样一些基础的数学问题都回答不上来 。
作为一个傲娇的程序员 ，应该要掌握这些数学基础知识 ，才更有可能码出一个伟大的产品 。
向量 向量（vector）是由一组实数组成的有序数组 ，同时具有大小和方向 。一个n维向量a是由n个有序实数组成 ，表示为 a = [a1 , a2 , · · · , an]
矩阵
线性映射 矩阵通常表示一个n维线性空间v到m维线性空间w的一个映射f: v -> w
注：为了书写方便 ， X.T ，表示向量X的转置 。 这里： X(x1 ,x2 ,... ,xn).T ，y(y1 ,y2 ,...ym).T ，都是列向量 。分别表示v ,w两个线性空间中的两个向量 。A(m ,n)是一个 m*n 的矩阵 ，描述了从v到w的一个线性映射 。
转置 将矩阵行列互换 。
加法 如果A和B 都为m × n的矩阵 ，则A和B 的加也是m × n的矩阵 ，其每个元素是A和B相应元素相加 。 [A + B]ij = aij + bij .
乘法 如A是k × m矩阵和B 是m × n矩阵 ，则乘积AB 是一个k × n的矩阵 。
对角矩阵 对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵 。对角线上的元素可以为0或其他值 。一个n × n的对角矩阵A满足： [A]ij = 0 if i ̸= j ∀i , j ∈ {1 , · · · , n}
特征值与特征矢量 如果一个标量λ和一个非零向量v满足 Av = λv , 则λ和v分别称为矩阵A的特征值和特征向量 。
矩阵分解 一个矩阵通常可以用一些比较“简单”的矩阵来表示 ，称为矩阵分解 。
奇异值分解 一个m×n的矩阵A的奇异值分解
其中U 和V 分别为m × m和n×n 的正交矩阵 ，Σ为m × n的对角矩阵 ，其对角 线上的元素称为奇异值（singular value） 。
特征分解 一个n × n的方块矩阵A的特征分解（Eigendecomposition）定义为
其中Q为n × n的方块矩阵 ，其每一列都为A的特征向量 ，^为对角阵 ，其每一 个对角元素为A的特征值 。 如果A为对称矩阵 ，则A可以被分解为
其中Q为正交阵 。
导数 对于定义域和值域都是实数域的函数 f : R → R ，若f(x)在点x0 的某个邻域∆x内 ，极限
存在 ，则称函数f(x)在点x0 处可导 ， f'(x0) 称为其导数 ，或导函数 。 若函数f(x)在其定义域包含的某区间内每一个点都可导 ，那么也可以说函数f(x)在这个区间内可导 。连续函数不一定可导 ，可导函数一定连续 。例如函数|x|为连续函数 ，但在点x = 0处不可导 。
加法法则
y = f(x) ,z = g(x) 则
乘法法则
链式法则 求复合函数导数的一个法则 ，是在微积分中计算导数的一种常用方法 。若 x ∈ R ，y = g(x) ∈ R ，z = f(y) ∈ R ，则
Logistic函数是一种常用的S形函数 ，是比利时数学家 Pierre François Verhulst在 1844-1845 年研究种群数量的增长模型时提出命名的 ，最初作为一种生 态学模型 。 Logistic函数定义为：
当参数为 (k = 1 , x0 = 0 , L = 1) 时 ，logistic函数称为标准logistic函数 ，记 为 σ(x) 。
标准logistic函数在机器学习中使用得非常广泛 ，经常用来将一个实数空间的数映射到(0 , 1)区间 。标准 logistic 函数的导数为：
softmax函数是将多个标量映射为一个概率分布 。对于 K 个标量 x1 , · · · , xK ， softmax 函数定义为
这样 ，我们可以将 K 个变量 x1 , · · · , xK 转换为一个分布： z1 , · · · , zK ，满足
当softmax 函数的输入为K 维向量x时 ，
其中 ，1K = [1 , · · · , 1]K×1 是K 维的全1向量 。其导数为
离散优化和连续优化 :根据输入变量x的值域是否为实数域 ，数学优化问题可以分为离散优化问题和连续优化问题 。
无约束优化和约束优化 :在连续优化问题中 ，根据是否有变量的约束条件 ，可以将优化问题分为无约束优化问题和约束优化问题 。 优化算法
全局最优和局部最优
海赛矩阵
《运筹学里面有讲》 ，前面一篇文章计算梯度步长的时候也用到了： 梯度下降算法
梯度的本意是一个向量（矢量） ，表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值 ，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快 ，变化率最大（为该梯度的模） 。
梯度下降法
梯度下降法（Gradient Descent Method） ，也叫最速下降法（Steepest Descend Method） ，经常用来求解无约束优化的极小值问题 。
梯度下降法的过程如图所示 。曲线是等高线（水平集） ，即函数f为不同常数的集合构成的曲线 。红色的箭头指向该点梯度的反方向（梯度方向与通过该点的等高线垂直） 。沿着梯度下降方向 ，将最终到达函数f 值的局部最优解 。
梯度上升法
如果我们要求解一个最大值问题 ，就需要向梯度正方向迭代进行搜索 ，逐渐接近函数的局部极大值点 ，这个过程则被称为梯度上升法 。
概率论主要研究大量随机现象中的数量规律 ，其应用十分广泛 ，几乎遍及各个领域 。
离散随机变量
如果随机变量X 所可能取的值为有限可列举的 ，有n个有限取值 {x1 , · · · , xn} , 则称X 为离散随机变量 。要了解X 的统计规律 ，就必须知道它取每种可能值xi 的概率 ，即
称为离散型随机变量X 的概率分布或分布 ，并且满足
常见的离散随机概率分布有：
伯努利分布
二项分布
连续随机变量
与离散随机变量不同 ，一些随机变量X 的取值是不可列举的 ，由全部实数 或者由一部分区间组成 ，比如
则称X 为连续随机变量 。
概率密度函数
连续随机变量X 的概率分布一般用概率密度函数 p(x) 来描述 。 p(x) 为可积函数 ，并满足：
均匀分布 若a , b为有限数 ，[a , b]上的均匀分布的概率密度函数定义为
正态分布 又名高斯分布 ，是自然界最常见的一种分布 ，并且具有很多良好的性质 ，在很多领域都有非常重要的影响力 ，其概率密度函数为
其中 ， σ > 0 ，µ 和 σ 均为常数 。若随机变量X 服从一个参数为 µ 和 σ 的概率分布 ，简记为
累积分布函数
对于一个随机变量X ，其累积分布函数是随机变量X 的取值小于等于x的概率 。
以连续随机变量X 为例 ，累积分布函数定义为：
其中p(x)为概率密度函数 ，标准正态分布的累计分布函数:
随机向量
随机向量是指一组随机变量构成的向量 。如果 X1 , X2 , · · · , Xn 为n个随机变量 , 那么称 [X1 , X2 , · · · , Xn] 为一个 n 维随机向量 。一维随机向量称为随机变量 。随机向量也分为离散随机向量和连续随机向量 。 条件概率分布 对于离散随机向量 (X , Y) ，已知X = x的条件下 ，随机变量 Y = y 的条件概率为：
对于二维连续随机向量(X , Y ) ，已知X = x的条件下 ，随机变量Y = y 的条件概率密度函数为
期望 对于离散变量X ，其概率分布为 p(x1) , · · · , p(xn) ，X 的期望（expectation）或均值定义为
对于连续随机变量X ，概率密度函数为p(x) ，其期望定义为
方差 随机变量X 的方差（variance）用来定义它的概率分布的离散程度 ，定义为
标准差 随机变量 X 的方差也称为它的二阶矩 。X 的根方差或标准差 。
协方差 两个连续随机变量X 和Y 的协方差（covariance）用来衡量两个随机变量的分布之间的总体变化性 ，定义为
协方差经常也用来衡量两个随机变量之间的线性相关性 。如果两个随机变量的协方差为0 ，那么称这两个随机变量是线性不相关 。两个随机变量之间没有线性相关性 ，并非表示它们之间独立的 ，可能存在某种非线性的函数关系 。反之 ，如果X 与Y 是统计独立的 ，那么它们之间的协方差一定为0 。
随机过程（stochastic process）是一组随机变量Xt 的集合 ，其中t属于一个索引（index）集合T 。索引集合T 可以定义在时间域或者空间域 ，但一般为时间域 ，以实数或正数表示 。当t为实数时 ，随机过程为连续随机过程；当t为整数时 ，为离散随机过程 。日常生活中的很多例子包括股票的波动 、语音信号 、身高的变化等都可以看作是随机过程 。常见的和时间相关的随机过程模型包括贝努力过程 、随机游走 、马尔可夫过程等 。
马尔可夫过程 指一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下 ，其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态 。
其中X0:t 表示变量集合X0 , X1 , · · · , Xt ，x0:t 为在状态空间中的状态序列 。
马尔可夫链 离散时间的马尔可夫过程也称为马尔可夫链（Markov chain） 。如果一个马尔可夫链的条件概率
马尔可夫的使用可以看前面一篇写的有意思的文章： 女朋友的心思你能猜得到吗？——马尔可夫链告诉你 随机过程还有高斯过程 ，比较复杂 ，这里就不详细说明了 。
信息论（information theory）是数学 、物理 、统计 、计算机科学等多个学科的交叉领域 。信息论是由 Claude Shannon最早提出的 ，主要研究信息的量化 、存储和通信等方法 。在机器学习相关领域 ，信息论也有着大量的应用 。比如特征抽取 、统计推断 、自然语言处理等 。
在信息论中 ，熵用来衡量一个随机事件的不确定性 。假设对一个随机变量X（取值集合为C概率分布为 p(x) , x ∈ C ）进行编码 ，自信息I(x)是变量X = x时的信息量或编码长度 ，定义为 I(x) = − log(p(x)) , 那么随机变量X 的平均编码长度 ，即熵定义为
其中当p(x) = 0时 ，我们定义0log0 = 0 熵是一个随机变量的平均编码长度 ，即自信息的数学期望 。熵越高 ，则随机变量的信息越多；熵越低 ，则信息越少 。如果变量X 当且仅当在x时 p(x) = 1 ，则熵为0 。也就是说 ，对于一个确定的信息 ，其熵为0 ，信息量也为0 。如果其概率分布为一个均匀分布 ，则熵最大 。假设一个随机变量X 有三种可能值x1 , x2 , x3 ，不同概率分布对应的熵如下：
联合熵和条件熵 对于两个离散随机变量X 和Y ，假设X 取值集合为X；Y 取值集合为Y ，其联合概率分布满足为 p(x , y) ，则X 和Y 的联合熵（Joint Entropy）为
X 和Y 的条件熵为
互信息 互信息（mutual information）是衡量已知一个变量时 ，另一个变量不确定性的减少程度 。两个离散随机变量X 和Y 的互信息定义为
交叉熵和散度 交叉熵 对应分布为p(x)的随机变量 ，熵H(p)表示其最优编码长度 。交叉熵是按照概率分布q 的最优编码对真实分布为p的信息进行编码的长度 ，定义为
在给定p的情况下 ，如果q 和p越接近 ，交叉熵越小；如果q 和p越远 ，交叉熵就越大 。
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