哥德尔、艾舍尔、巴赫基本信息（读《哥德尓、艾舍尔、巴赫》）

文章目录：

哥德尔、艾舍尔、巴赫基本信息
读《哥德尓、艾舍尔、巴赫》

一、哥德尔、艾舍尔、巴赫基本信息

这本引人入胜的著作名为《哥德尔、艾舍尔、巴赫：一条永恒的金辫子》，它以其独特的视角和深度探讨了复杂性的交叉领域。作者是美国思想家侯世达，他的作品以其深入浅出的风格闻名于世。这本书的中文版由严勇、刘皓明和莫大伟三位译者共同翻译，他们的努力使得这部硬核理论著作更具可读性。

《哥德尔, Escher, Bach》于1997年5月由商务印书馆出版，作为一本重量级的学术读物，它共分为1053页，内容丰富且深入。对于那些对数学、逻辑、艺术和音乐等领域感兴趣的人来说，这是一本不可或缺的参考书。定价69.90元，精美的装帧设计不仅增添了阅读的舒适感，也体现了作者对作品的重视和出版社的用心。

二、读《哥德尓、艾舍尔、巴赫》

#《哥德尓、艾舍尔、巴赫》EGB 道格拉斯霍夫斯塔特

开智正典对这本书的导言是：

作为镇群书，作为百部之首，朋友都说它艰深，于是不敢涉猎。在图书馆偶遇（真的是偶遇！），拿起来随意翻了翻，看到一段关于书本名字的翻译趣事（集异璧，异集璧，以及副标题「一条永恒的金带」由来），突然觉得此作太可爱。纵然对数学，音乐，绘画知之甚少，纵然书厚得堪比牛津大辞典，我还是把它背回去了。

相遇很奇妙以外，哼哧哼哧看了35页，才发现只看了个导言= =每章前面有希腊神话主角的小故事对话，看似无厘头，实则满满隐喻。由几条简单定理法则，「如果，那么」的严密推导，竟然诞生出四则运算法则，实在神奇。然后渐渐通过绘画的对比和循环，巴赫音乐章节的循环，引申到数学上，以一种你绝对想不到的深入浅出方式（经常会心中暗自「哇噢」一声，原来以前学的某数学概念是这个意思），揭示人工智能的奥秘。若是早些年遇到它，不知道我的数学会不会逆袭？

"怪圈"现象，就是当我们向上（或向下）穿过某种层次系统中德一些层次时，会意外地发现我们正好回到了我们开始德地方。（缠结的层次结构）

艾舍尔的画——《上升与下降》《瀑布》《画手》

循环不就是一种以有穷的方式表示无休止过程的方法吗？

艾皮曼尼蒂斯悖论（说谎者悖论）——艾皮曼尼蒂斯是一个克里特岛人，他说过一句不朽的话；"所有克里特岛人都是说谎者。"（＝"我在说谎"或"本句子是假的。"）

大多数集合是"普通的"。然而，有些自吞的合集确实包括其自身作为该合集的元素。（没懂＝＝）

想消除一般悖论的人，就必须有一些类似的"分层法"来禁止语言中的循环。每一个句子都明确属于层次结构中的某一层。

我们采取的补救悖论的办法——把任何形式的自指全部驱除。

非智能行为和智能行为之间的界限在哪里？智能的基本能力：对于情境有很灵活的反应；充分利用机遇；弄懂含糊不清或彼此矛盾的信息；认识到一个情境中什么是重要的因素，什么是次要的；在存在差异的情景之间能发现他们的相似处；从那些由相似之处联系在一起的事物中找到差别；用旧的概念综合出新的概念，把他们用新的方法组合起来；提出全新的观念。

本书的一个主要目的就是鼓励每一个读者，直截了当地面对这个表面上看来是矛盾的东西，尝一尝它的滋味，摆弄摆弄，拆开来看看，沉浸其中，以使读者最终得以重新认识存在于形式化的和非形式化的，由生命的和无生命的，灵活的和不灵活的事物之间的那些表面上看来不可逾越的鸿沟。（这便是人工智能所要研究的全部。）

智能的灵活性来自大量的不同规模和规则的层次。

「看了35页，发现仅仅看了个作者的导言0 0」

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"风幡非动，心自动耳。"

爱丽亚城的希腊哲学家（那城位于A点与B点中间的地方）

"运动从本质上使不可能的。"＝"二分悖论"

"运动无有"——芝诺定理

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好了，来讲一下pq系统。（坐标：第二章数学中的意义与形式）

它是一种形式系统，有三个符号：字母p、字母q、和短杠－。

pq系统有无穷多条公理，列不完，所以下了个定义：只要x仅由一串短杠组成，那么x-qxp-就是一条公理。

诸如：---q--p-，----q--p-- ，

形式上发现pq定理很像加法，于是判定变成q前面的短杠是否等于后面两个相加。（作者有意选q=equal，p=plus）

pq系统与加法之间出现了同构。于是pq系统有了新的意义。

若是q是马，p是幸福，-是苹果，于是-q-p--有新的解释「苹果马苹果幸福苹果苹果」，此类解释没「意义」。

第三章在pq系统的公理外又加了一条公理：若x是一个短杠串，则xqxp-是一个公理。

则—q—p-在新系统中也是一个定理。按原来解释为「2=2+1」这不符合外部世界。（不合逻辑）

新系统内部世界也有问题，比如--q-p-（旧公理）和-q-p-（新公理），解释不通。

作者指出这是故意在正儿八经的乱论证，新的pq系统需要新的同构意义，比如q解释为「小于等于」。于是原来的公理们「2<=1+1」,「1<=1+1」都成立啦。

（艾玛不知道解释清楚没有啊，大致由公理推定理，符号的形式系统通过同构解释有了实际意义，但是选择什么意义很重要）

第三章讲图形与衬底，图案中的正空间与负空间，可以形成倍流畅的图，即不论是图形还是衬底，都是完备流畅的图形，这点在埃舍尔的画中十分明显。

与此同时，音乐中的图形与衬底——即旋律与伴奏，很难区分，这种情况也称之为倍流畅，比如巴赫的音乐。

对应到数学领域，递归可枚举，成为了数学中「流畅可画出」的表现形式。

至此，书名的《哥德尓、艾舍尔、巴赫》中的两位都现身了。（哥德尔定理虽然也出现了，我还不知道是什么鬼= =作者说后几章会讲。）也隐约感受出作者的博大精深，三位看似没有关联的数学家，画家，和音乐家，在作者的解说下具有了共同性，建构了一种新的认识世界的方式。掌握在不同领域间意义转换的方式，大概也就逐步靠近计算机理解和表现人类思维的方式，于是人工智能初显。

第三章摘录部分：

图形和衬底——正空间与负空间

倍流畅——前景与背景都是流畅画出的。 e.g.埃舍尔的图

音乐中的图形与衬底——旋律和伴奏。 e.g. 巴赫的音乐（也是倍流畅的。）

形式系统

递归可枚举（缩写 r.e.）——数学中的流畅可画出

#W0104《哥德尓、艾舍尔、巴赫》

依旧开始于乌龟和阿基里斯的对话，一个关于一台优秀的唱机能不能播放所有唱片的争论，长达10页的对话。一台唱机不能播放所有的唱片，总有一种唱片的声音震动会引起唱机的共振，进而摧毁它自身。唱片纹路与空气震颤之间的同构；以及任意的空气震颤与唱机震颤之间的同构。唱机划过唱片意味着纹路带来空气震动，产生声音，声音产生震动，反作用于唱机，最后摧毁。

看完了？还没完，再看一遍，每个对话的开头之一个字是加粗的，连起来是：赫赫有名的德国作曲家给了我侯世达灵感……在此刻我借用他的对位技巧写下一个对话并嵌进他的名字以表示对他卓越才能由衷的景仰，大家也许都记得他曾把他的名字写进一首赋格曲的尾巴。

这个人就是巴赫啦，在赋格曲的最后将B－A－C－H化作对应音符完美融入。具体描述有点长，在此掠过。

乌龟说没有一个足够强有力的唱机会在下述意义上时完备的：它能重现唱片上所有可能的声音。哥德尔说没有一个足够强有力的形式系统会在下述意义上是完备的：能够把每一个真陈述都作为定理而重现在该系统中。

同构性造成了意义的显现。之一章的pq系统。公理模式：若x是一个短杠串，则xqxp－是一个公理。则--q--p-在新系统中也是一个定理。解释为「2=2+1」，这和外部系统我们的常识不一致。q若是替换成别的，比如「小于等于」，此时又实现了「2<=2+1」,符合外部系统。

这种用语言来解释符号，成为了十九世纪最深刻的教训之一，来自欧几里得的《几何原理》，由五条公设推出整个几何大厦。

然后讨论非欧几里得几何和研究未定义项。通过一致性把符号替换成各种现实意义，探究合理与否。

之后是视知觉的稳定性层次。看似合理结构的画（如下面这幅埃舍尔的作品），现实中却是不合理的。引申到数学中形式化得数论是不完全的。

总之，这书信息量太大，读起来累，写感想更加累，实在做不到面面俱到，细节真的只能跟着作者思路慢慢推导才行嘤嘤嘤。

第四章摘录部分：

隐含意义与显明意义

对人类语言进行理解的符号操作过程，比典型的形式系统中的符号操作要复杂得多。

哥德尔定理背后的原理形象化表现：两个映射背靠背具有了出乎意料的飞来去器效果。之一个映射时从纹道模式到声音，由一个唱机实现。第二个——很平常，但却常常被忽视——是从声音到唱机的震颤。注意第二个映射独立于之一个映射而存在，因为附近的任何声音——不仅时唱机自己产生的声音——都会引起这种震颤。哥德尔定理专属在这里就是，对任何一个唱机，都有它不能播放的唱片，因为后者会导致前者的间接自摧毁。

形式系统中，意义由同构来传递。

《对位藏头诗》与哥德尔定理之间的映射

倒戈的高脚杯与唱片

欧几里德《几何原理》历史：用5条公设作为几何学大厦的「地基」。

非欧几何学。

我们可以用术语「一致性」来概括到目前为止我们的观察。我们的讨论开始于虚构一个显得不一致的形式系统——内部不一致，同样与外部世界也不一致。但过了一会我们就撤回了这种说法，我们意识到了我们的错误，我们为符号选择了不幸的解释。改换了解释后，我们重新获得了一致性！

逻辑一致性，物理一致性，数学一致性，生物一致性等等。

但是在那样的世界里生物学、物理学、数学甚至逻辑的法则会喜爱一个层次上被无诶被而同时在另一个层次上被遵循，使之成为一个及其古怪的世界。e.g.埃舍尔《瀑布》

#W0105《哥德尓、艾舍尔、巴赫》

和声小迷宫依旧是一段乌龟和阿基里斯的对话故事，饱含嵌套，一层又一层，如盗梦空间。想实现一个「我的愿望是有100个愿望」的元愿望（小时候都这么想过！！！）进入埃舍尔的画中，读故事里的故事书，主角是读书人。在和声小迷宫里（其实是巴赫的唱片里）找到终结点。似乎终于逃脱了险境，然而其实他们的真身在飞机上等待被宰。（作者贴心的将对话进行缩进，提示读者又进入下一层嵌套了。）

一边读一边记下了些关键名词，文字复述一遍工作量太大，倒是就着这份故事词表，是见面，我能把故事再讲一遍给你听。（后附故事结构示意图）

##和声小迷宫关键词表

游乐场，大风车，飞机，《神怪与煮调饮》

推入露，埃舍尔的画《凹与凸》，神灯，三个愿望

100个愿望，无类型愿望，元愿望，元元愿望

元灯，元怪物

元元灯，元元怪物

……

造物神

……

元怪物,批准

怪物，批准

造物神—— 造物神物色的神怪（递归的词首组合）位于他or她之上的一组神怪，有无穷多个

我希望我的愿望不被实现，系统坍塌

下一层，《乌龟和阿基里斯在全球各地转悠时的历险》

可怕大雕占据的和声小迷宫

手杖蹭墙，发出音乐声

中心大吃弹出锅酥，逃出到上一层

蜥蜴，沿着画的直角出逃

递归就是嵌套。

日常生活中的打电话，占线，转接，新电话接入，暂停当下电话，接入新电话，就是一种递归。

推入、弹出和堆栈（人工智能早期IPL语言的一部分）

堆栈用于记录在某一层的那里暂停，下次再接上。

接下来讲了音乐中的堆栈和语言中的递归。（我选择性略过了，恩= =）

程序设计与递归：模块性、循环、过程。

看到这里终于亲切了起来，感谢之前Python班的一点点底子。

编写计算机程序，将任务分解成子任务——模块性概念。

依次执行某些操作需要都列出来吗？不用，写一个循环，满足某种条件时跳出。

弈棋程序——最好的一步棋，意味着对一方最好，一方最坏。

所以最佳程序运转方式是：走一步，然后从对手的角度调用自己。这样做的同时它走了一步，再从它对手——也就是自己的角度调用自己。

文中说道在国际象棋早期，人和机器对弈，还是人高明的多，有人推测十年后计算机能打败人，然而现在看来估计还要十年。例证了一个递归化定律——侯世达定律：做事所花费的时间总是比你语气的要长，即使你的预期中考虑了侯世达定律。

然而，刚刚结束的“阿尔法围棋”（AlphaGo）万众瞩目。查到最早一版GEB是1979年的，距今已经三十多年过去了。人类历史上，围棋AI之一次在公平比赛中战胜职业选手。

#W0302 《哥德尓、艾舍尔、巴赫》

信息携带者与信息揭示者

遗传型与表现型

人把意义赋予了材料，还是意义本来就在那里。后者。

意义多大程度上以可以预测的方式作用于智能，它就在此程度上是对象的一部分。

任何消息都分为三层：1）框架消息——确认一种解码机制；2)外在消息——建造或知道如何建造能正确解释内在消息的解码机制；3）内在消息——预定要传达的信息，遗传学中的表现型

『遗传信息一定是存储「非晶体性晶体结构」中。』欧文·薛定谔《生命是什么？》，书籍本身就是规整的几何形状中非周期性晶体结构。

回到本章开始的问题，意义位于何处？在乌龟和阿基里斯的对话中，他们对饼干中的字条产生了不同的理解——不同的解码。但即便一开始没吃到，之后打开字条还是会解读出同样的信息，于是我们认为意义本来就在那里，而非人赋予。

在海滩边捡到一个带纸条的瓶子，首先框架信息会确认这是一种人造的信息携带者，打开纸条发现上面的字型写的是日文，这是一种外在信息。然而却不具有日文阅读能力，对于纸条的内部消息，本来想要传递的内容还是未解之谜。

人类往太空发射了一枚金属唱片，相信外星人会捕获，规则的几何形状暗示它携带信息，至于外星人能不能正确解码，只是一个时间问题。因为，意义本来就在那里。

一种新的形式系统——命题演算。规则：如果x和y都是系统的定理，那么串也是系统的定理。定义所有串的一个子集——「良构串」的集合。（采用递归方式定义）

特别的在于，这个系统没有公理——只有规则。所以作者称他为「幻想规则」，假如x是一个定理，那么y就会是一个定理。而真正的定理在于。

在已知语句后推断一个「→ 」串的「子句」，前提是串本身和子句都是定理。——这叫做「演绎定理」（Modus Ponens）

之后用符号的预期解释（包括特别多规则），可以讲有意义的句子代入，如「心是佛」。经过符号化后论证，形成新的定理——或者心是佛，或者心不是佛。也可以用来解释《岩头之斧》这类故事的最终结局「道得也一下斧，道不得也一下斧。」通过24步推出Q：两颗脑袋都要被砍掉。

证明之于推导：一个证明是某种非形式的东西，或者换句话说，是日常思维的产物，用人的语言写的，说给人听的。思维的各种各样复杂的特点都肯呢个用在证明里，虽然「感觉是对的」，但不知道是否在逻辑上能有保证。这正是形式化真正的目的所在。

矛盾是生活的各个领域中取得澄清和进步的一个主要源泉——数学也不例外。一个更有关联性的例子，是在我们真正进行思考的方式与命题演算模仿我们的方式二者之间的矛盾。然而，命题演算还是很有价值的，它提供有效的命题推理——所有那些能够被造出来的命题推理。因此，如果任何时候不完全性或不一致性被暴露出来，人们就能确信，着一定是哪个较大的系统的毛病，而不是他的子系统命题演算的过错。

这章看起来非常吃力，翻来覆去很多次，作者下了非常多定义来推导和解释，过于啰嗦和繁复。我来尝试以自己的理解概括，将命题的逻辑「或与非」通过符号运算。揭示用逻辑和推理来维护他们自身是很困难的。（e.g.卡罗尔对话）你无法永远维护你的推理模式。到了一定的地步，就只能靠信仰了。「幻想规则」（个人感觉更像是假设），在一个幻想额定理上进行推导。推导无比严谨，证明是人之思维。两者之间有矛盾在，但仍有重要意义。命题演算是符号系统，是观点是诗句，是逻辑，是人与计算机沟通的桥梁。

螃蟹卡农——基因片段里的「回文」——间接自指

想要看出自指，必须既看到这个对话的内容，也看到它的形式。

定义一个形式系统——印符数论：把数论表示在印刷符号里，简称TNT（Typographical Number Theory）

（未完待续）

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